Олександр Бойко народився у Чернівцях, займатись футболом почав з 9 років у тренера Михайла Мельника. У 1972 році дебютував у складі чернівецької «Буковини», де його і помітили тренери юнацької збірної СРСР. За збірну він грав два роки, був учасником чемпіонату Європи, в складі команди провів 8 матчів і забив 1 гол.
В 1974 році отримав запрошення від київського «Динамо». Декілька років Олександр виступав за дублюючий склад, став чемпіоном СРСР в складі дублерів і в багатьох матчах був капітаном команди. Дебют в основному складі відбувся у 1975 році в матчі «Шахтар» (Донецьк) – «Динамо» (Київ). Вийшовши на заміну замість Анатолія Конькова, Бойко віддав гольовий пас на Олега Блохіна, який забив переможний гол. Дебютним голом у вищій лізі союзного чемпіонату відзначився в 1980 році у матчі «Динамо» (Київ) – ЦСКА.
Пік кар’єри гравця прийшовся на 1979-1982 роки. Під орудою Валерія Васильовича Лобановського Олександр грає в основному складі «Динамо» на місці опорного півзахисника, стає дворазовим чемпіоном СРСР і володарем Кубка СРСР. В матчі за Кубок Сезону, в якому динамівці зустрічались з володарем Кубка донецьким «Шахтарем», Бойко зумів відзначитись голом в основний час, а в серії післяматчевих пенальті динамівці завоювали цей почесний трофей.
Через постійні травми Олександр Бойко рано закінчив активну футбольну кар’єру. За часів радянського союзу було так заведено, що якщо гравцю за тридцять – то він вже ветеран. Після виступів за київське «Динамо» Бойко заявився за харківський «Металіст», з яким дійшов до фіналу Кубку СРСР. Проте у нього не склалися стосунки з наставником команди Євгеном Лемешком, і Олександр повертається до рідного міста. Певний період йому доводиться виступати у чемпіонаті Чернівецької області за «Легмаш» та бути одним з тренерів «Буковини», і лише частину сезону 1984 року він зміг провести у головній футбольній команді буковинського краю як гравець.
На початку 90-х почав грати за команду ветеранів київського «Динамо» та тренувати дітей у дитячо-юнацькій спортивній школі. В 1990 році під час участі динамівців на міжнародному турнірі в Фінляндії, Олександру Бойку надійшла пропозиція зіграти за місцеву команду першої ліги КТП (Кемі). У цій команді, до речі, виступав тоді ще один колишній киянин – Леонід Буряк. Олександр, якому на той час виповнилося 35 років, прийняв запрошення і відіграв у Фінляндії до кінця сезону. Але у нього виникла проблема з меніском, тож виступи довелось припинити.
Зараз відомий у минулому футболіст працює дитячим тренером у ДЮСШ №15 міста Києва. Також він є делегатом ФФУ на матчах чемпіонату України. Син Олександра Бойка – Денис, який пройшов школу воротарів київського «Динамо» і захищав ворота столичної «Оболоні», сьогодні є гравцем криворізького «Кривбасу» і олодіжної збірної України.
